导数的运算法则及基本公式应用

高考要求

导数是中学限选内容中较为重要的知识,本节内容主要是在导数的定义,常用求等公式 四则运算求导法则和复合函数求导法则等问题上对考生进行训练与指导

重难点归纳

1 深刻理解导数的概念,了解用定义求简单的导数

表示函数的平均改变量,它是Δx的函数,而f′(x0)表示一个数值,即f′(x)=,知道导数的等价形式

2 求导其本质是求极限,在求极限的过程中,力求使所求极限的结构形式转化为已知极限的形式,即导数的定义,这是顺利求导的关键

3 对于函数求导,一般要遵循先化简,再求导的基本原则,求导时,不但要重视求导法则的应用,而且要特别注意求导法则对求导的制约作用,在实施化简时,首先必须注意变换的等价性,避免不必要的运算失误

4 复合函数求导法则,像链条一样,必须一环一环套下去,而不能丢掉其中的一环 必须正确分析复合函数是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成的,分清其间的复合关系

典型题例示范讲解

例1求函数的导数

命题意图 本题3个小题分别考查了导数的四则运算法则,复合函数求导的方法,以及抽象函数求导的思想方法 这是导数中比较典型的求导类型

知识依托 解答本题的闪光点是要分析函数的结构和特征,挖掘量的隐含条件,将问题转化为基本函数的导数

错解分析 本题难点在求导过程中符号判断不清,复合函数的结构分解为基本函数出差错

技巧与方法 先分析函数式结构,找准复合函数的式子特征,按照求导法则进行求导

(2)解 y=μ3,μ=ax-bsin2ωx,μ=av-by

v=x,y=sinγ γ=ωx

y′=(μ3)′=3μ2·μ′=3μ2(av-by)′=3μ2(av′-by′)=3μ2(av′-by′γ′)

=3(ax-bsin2ωx)2(a-bωsin2ωx)

(3)解法一 设y=f(μ),μ=,v=x2+1,则y′x=y′μμ′v·v′x=f′(μ)·v-·2x

=f′()··2x =

解法二 y′=[f()]′=f′()·()′

=f′()·(x2+1)·(x2+1)′=f′()·(x2+1) ·2x

=f′()

例2利用导数求和

(1)Sn=1+2x+3×2+…+nxn-1(x≠0,n∈N*)

(2)Sn=C+2C+3C+…+nC,(n∈N*)

命题意图 培养考生的思维的灵活性以及在建立知识体系中知识点灵活融合的能力

知识依托 通过对数列的通项进行联想,合理运用逆向思维 由求导公式(xn)′=nxn-1,可联想到它们是另外一个和式的导数 关键要抓住数列通项的形式结构

错解分析 本题难点是考生易犯思维定势的错误,受此影响而不善于联想

技巧与方法 第(1)题要分x=1和x≠1讨论,等式两边都求导

解 (1)当x=1时Sn=1+2+3+…+n=n(n+1);

当x≠1时,∵x+x2+x3+…+xn=,两边都是关于x的函数,求导得

(x+x2+x3+…+xn)′=()′即Sn=1+2x+3×2+…+nxn-1=

(2)∵(1+x)n=1+Cx+Cx2+…+Cxn,

两边都是关于x的可导函数,求导得n(1+x)n-1=C+2Cx+3Cx2+…+nCxn-1,

令x=1得,n·2n-1=C+2C+3C+…+nC,即Sn=C+2C+…+nC=n·2n-1

例3 已知曲线C y=x3-3×2+2x,直线l:y=kx,且l与C切于点(x0,y0)(x0≠0),求直线l的方程及切点坐标

解 由l过原点,知k=(x0≠0),点(x0,y0)在曲线C上,y0=x03-3×02+2×0,

∴=x02-3×0+2 y′=3×2-6x+2,k=3×02-6×0+2又k=,∴3×02-6×0+2=x02-3×0+2

2×02-3×0=0,∴x0=0或x0= 由x≠0,知x0= ∴y0=()3-3()2+2·=-

∴k==- ∴l方程y=-x 切点(,-)

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高中数学:导数的运算

基本初等函数的导数公式

常见函数的导数推导

导数的运算法则

已知f(x),g(x)为可导函数,且g(x)≠0.

复合函数的导数

1、复合函数的概念

一般地,对于两个函数y=f(u)和u=g(x),如果通过中间变量u,y可以表示成x的函数,那么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数,记作y=f(g(x)).

2、复合函数的求导法则

一般地,对于由函数y=f(u)和u=g(x)复合而成的函数y=f(g(x)),它的导数与函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系我们可以表示为即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.

基本初等函数的导数公式在数学中的重要性

基本初等函数的导数公式在数学中占据着举足轻重的地位,它们不仅是微积分学的基础,还是解决各种实际问题的重要工具。以下详细探讨这些公式的重要性:

1、微积分的基础

导数是微积分中的核心概念之一,用于描述函数在某一点的变化率。

基本初等函数的导数公式,如常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等的导数,是推导更复杂函数导数的基础。

2、解决问题的工具

在物理学、工程学、经济学等多个领域,经常需要求解函数的极值、曲线的切线斜率、速度、加速度等问题,这些都依赖于导数。

掌握基本初等函数的导数公式,可以迅速解决这些实际问题,提高工作效率。

3、理论推导的桥梁

在数学内部,许多定理和公式的推导都离不开导数。

例如,泰勒公式、洛必达法则等高等数学中的重要工具,都需要利用基本初等函数的导数公式进行推导。

4、培养逻辑思维和数学素养

学习基本初等函数的导数公式,有助于培养逻辑思维和数学素养。

通过推导和理解这些公式,可以锻炼抽象思维能力和解决问题的能力。

5、优化和极值问题

在实际生活中,经常需要找到某种条件下的最优解,如成本最低、产量最高等。

通过求导数并找到极值点,可以解决这些优化问题。

6、数学模型的建立

在建立数学模型时,经常需要用到导数来描述变量的变化率和相互关系。

掌握基本初等函数的导数公式,有助于更准确地建立数学模型并进行分析。

7、学科交叉和融合

在现代科学研究中,数学已经渗透到各个学科领域。

掌握基本初等函数的导数公式,有助于跨学科的研究和合作。

综上所述,基本初等函数的导数公式在数学中具有极其重要的地位。它们不仅是微积分学的基础,还是解决各种实际问题的重要工具。因此,在学习数学时,必须重视并掌握这些公式。

以下是相关练习题目(有需要的请收藏)

七法搞定导数运算

导数是研究函数问题的强有力工具,运用之前要先求导.在求导运算中,掌握以下七法,常可使运算避繁就简,快速解题.

一、 直接求导

即直接利用基本初等函数的求导公式与运算法则进行计算.

【点评】 运用直接法的关键在于将复杂函数分拆为若干个基本初等函数的和、差、积、商的形式.

二、 模型法

将陌生的函数模型转化为基本初等函数模型的运算,从而利用求导公式与法则求解.

【点评】 对于含有tanx的函数求导问题,常常需要切化弦后,依据公式进行求导.

三、 转化

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【点评】 运用转化法可以将求导商的法则转化为求导积的法则,从而优化解题过程.

四、 合并

【点评】 通过三角函数的恒等变换,化简为一个较为简单的三角函数再求导,可简化解题过程,提高正确率.

五、利用整体

即将函数解析式中的部分视作一个整体,然后利用相关法则求导.

【点评】 本题采用整体法求导,避免了烦琐的求导运算,达到了提高正确率和解题速度的目的. 以后象这样的问题同学们可以优先考虑整体法.

六、 复合函数求导法则

在运用复合函数求导法则时,首先认清复合函数的复合过程,将复合函数分解成基本初等函数,然后遵循复合函数的求导法则求解.

【点评】 复合函数求导时要牢记中间变量,注意逐层求导,不遗漏,遵循法则求导后要把中间变量换成自变量的函数.

【点评】 注意两点:① 在熟练的情况下,可以省略复合过程的书写;② 求导运算法则的运用.

七、 题中给的新法则

【点评】 本题考查导数运算中对新求导法则的理解、运用能力,要求同学们弄清求导运算过程,合理利用求导法则解决问题.

本文作者及来源:Renderbus瑞云渲染农场https://www.renderbus.com

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