黎曼函数极限为0的证明-黎曼函数极限为0的证明过程 收藏 0

微积分的基石：极限的概念

在微积分学科中，极限（Limit）通常是指在某个过程下，例如一个函数（或数列）在自变量（或指标）趋近于某个值（允许是无穷 ）时，函数（或数列）的行为。它是理解导数、积分以及许多其他数学工具的基础。

极限描述的是函数 f(x) 在 x 趋近于某个值 a 时的行为。如果当 x 无限接近 a 时，f(x) 无限接近某个值 L，那么我们说 f(x) 在 x 趋近于 a 时的极限是 L，记作：

意味着对于任意小的正数 ϵ>0，都存在一个正数 δ>0，使得当0<∣x−a∣<δ时，有∣f(x)−L∣<ϵ。

简单来说，无论 ϵ 多小，只要 x 足够接近 a，f(x) 就会足够接近 L。

• 唯一性：如果极限存在，那么它是唯一的。
• 局部有界性：如果存在，那么 f(x) 在 a 的某个邻域内是有界的。
• 四则运算：

1. 加法：
2. 乘法：
3. 除法：如果 ，则

• 导数的定义：导数f′(a) 是函数 f(x) 在 x=a 处的极限：
• 积分的定义：定积分是黎曼和的极限：
• 连续性：函数 f(x) 在 x=a 处连续的条件是：

如何证明复变函数论中的柯西-黎曼方程

在上一篇中介绍了复变函数的极限和连续性的定义，这一篇开始说它的导数。复变函数的导数定义和实函数一样，就是函数值的增量比上自变量的增量取极限，如果这个极限存在，那么函数在该点可导。而由于单变量复变函数是涉及到四维的一种函数，所以它有实函数所不具备的内容，那就是柯西-黎曼方程，它是单变量复变函数在某点可导的必然条件。和实函数不同，单变量复变函数是无法用图像表达的，而对于单变量实函数，用一个平面上的曲线就可以表达这个函数，所以复变函数会更抽象一些。它的自变量是二维的，函数值又是二维的，加起来就是四维。而我们生活在三维空间，所以很难用三维空间来表达四维的内容。现在我们所看到的复变函数图像是用了z轴和颜色两个维度来表达函数值，z轴表示函数值的模，颜色表示函数值的幅角。想要更直观地感受复变函数的读者，可以看看《复分析可视化方法》。

现在给出复变函数导数的定义。

像实函数那样，复变函数有一些微分的计算法则，它们很容易证明。

可以看到实函数的微分运算法则也适用于复变函数。接下来是最重要的部分：柯西-黎曼方程，它表明了在导数存在的情况下，对于实部和虚部的函数，一阶偏导数的关系。由于柯西-黎曼方程是导数存在的必要条件，所以可以用它来判断复变函数导数不存在。

证明：在前面讲复变函数极限的时候说道，极限存在说明自变量从任何方向趋近，极限都存在且相等，函数值的增量可写为△z=△x+i△y,现在让（△x,0）趋近（0,0），也就是让自变量从实轴趋近点z0。

注意，由于我们限定的趋近方向是让（△x,0）趋近（0,0），那么△z=△x，

同理，现在让（0,△y）趋近（0,0），也就是让自变量从虚轴趋近点z0，那么

有了可微的必要条件，可以去判断一个函数在某点不可微，我们还需要一个充分条件，这样就有了一个证明函数可微的工具。下面就是一个充分条件。

这个证明就涉及到二元实函数可微的充要条件，这也是为什么题设需要条件偏导数连续，因为二元实函数在某点可微的充要条件是偏导数在这点连续。有了这个重要的定理，就可以证明单变量复变函数的可微性了。下面一道思考题留给读者。

思考题：

这个函数很简单，自变量的共轭复数，证明导数不存在当然就是用定理1：柯西-黎曼方程，因为柯西-黎曼方程是导数存在的必要条件，那么柯西-黎曼方程不成立，导数也就不存在了。感兴趣的读者可留言分享你的解题过程。

科普黎曼函数构造（全篇）

科普黎曼函数构造

—— 黎曼偶间隔猜想关联证明与目的属性——

作者 李传学

在复平面，用“偶间隔”方□图构造来表达黎曼函数0点的“点线面”关系（注：参考关于实轴“偶间隔”0点文稿），是因为方□图构造符合黎曼函数s=-2n特征。

（一）黎曼函数的s=-2n“偶间隔”0点方□图构造特征。

1 、“偶间隔”的非偶数性。具有方□图的坐标度量性质，在复面用“偶间隔”方□图表示点间距离。方□图是组成方阵的单元。

2 、“偶间隔”的周期性。构造处在虚轴“-”负向位、周期s=（0，2，4，……）。正弦0点周期区间幅度重合则显示△状。正弦0点周期“偶间隔、奇数个”雷同两端都植树问题。

3 、“偶间隔”的任意性。偶间隔方□图度量大小选择，发生在四色对称方阵单元的扩大或压缩（细化），即黎曼函数偶间隔s=（0，2），平凡0点的△面分布架构。细化的极限，在于方□图边线端点间距离（包括斜对）趋向无穷小（由面趋点）。

4 、“偶间隔”的嵌套（递加区间□的△堆垒、幅度区间重合）性。例如，偶间隔2→（0，2）、4→（0，2，4）、6→（0、2、4、6）、……。嵌套的区间幅度重合，使△图越来越高，重合数外疏内密。 幅度区间重合在“偶间隔”嵌套中。

5 、“偶间隔”在数序间表现、极致偶数点（黎曼0点数量化）。

6、“偶间隔”相邻点间的等差、递增关系（含斜对点）。

7、“偶间隔”唯一性、无限性。

“偶间隔”构造的函数表达式，虽然在复轴的负向位置，然而在其他轴向同样成立，这就是“偶间隔”△构造的共阵。在复面实轴向位，“偶间隔”无穷小（偶间隔□→点）、点由离散→连续（平、非凡0点趋同，非凡0点简单化）；在复面△腰边相邻（0，1）幅度区间，皆是两端各差1个度量偶间隔□的区间重合；复面布满二色相同对顶的点交叉重合数、与四色相异的对顶点的叠加重合数；实轴向正弦0点周期的“偶间隔、奇数个”0点适用黎曼函数的方阵△构造表达。

平凡0点在实轴、非平凡0点的实部在实轴。非平凡0点在平凡0点偶间隔线中。 这一认识符合黎曼函数定理：“黎曼函数在［0，1］开区间内的极限处处为0”，和推论：“黎曼函数在［0，1］开区间内的无理点处处连续（偶间隔□→点），有理点处处不连续”（正弦周期离散0点）；（0,1）闭区间端点则始终是朗道0点所在。

黎曼函数“偶间隔”任意性，与四色猜想“任意地细分”一致。无限阶四色双轴对称方阵△，是黎曼函数在复面实轴上的幅度区间连续（□→点）表达的构造。复面实轴的平凡0点、非平凡0点的复面几何意义相同。因此，可以利用平凡0点研究仼意“偶间隔”非平凡0点分布。黎曼函数的复平面连续性，在于无限阶方阵的（0，1）幅度区间的复面几何向量模线的点交叉、“+”点叠加的重合（幅度区间嵌套）无限性。正弦0点“偶间隔”周期是平凡0点，反之则是在复面非平凡0点中进行平凡0点选择的方法。 黎曼函数0点的方□图构造，是方阵数论属性“偶”数序的图示表达。

（二）黎曼函数的平凡0点、非平凡0点在方□图构造中。 黎曼函数的有限平凡0点与无穷非平凡0点在区间幅度嵌套存，直至“偶间隔”任意性的细化（四色方阵单元）偶间隔→点。 黎曼将平面上使黎曼ζ 函数取值为的点被称为黎曼ζ函数的0点。s=-2n （n 为正整数）是黎曼ζ 函数的0点，这些0点分布有序，被称为黎曼ζ 函数的平凡0点 。除了这些平凡0点外，黎曼ζ函数还有许多其它0点，被称为非平凡0点。

对于这一概述，可以归结为：复平面实轴0点，是使黎曼ζ 函数取值为0的点被称为黎曼ζ函数的0点。其中，s=-2n“偶间隔”的正弦周期0点是平凡0点，其他实轴0点是非平凡0点（复面幅度区间重合的几何模线上的0点）。 复平面区间幅度重合是嵌套的实现。 复平面平凡0点在“偶间隔”方□图边端点位置，非平凡0点在方囗图除端点外的线间。黎曼函数的无穷非平凡0点，伴随在有限平凡0点的“偶间隔”层层嵌套中。

（三）黎曼函数s=-2n的偶间隔s=（0,2）△元素的堆垒架构。

正弦0点周期“偶间隔、奇数个”概念，雷同两端都植树问题。

曼函数s=-2n的偶间隔s=（0,2）△元素的堆垒架构，是指黎曼函数s=-2n的0点偶间隔周期s=（0,2,4,6，8，……），以偶间隔周期s=（0，2）△面为元素（0点偶间隔、奇数个）角节点堆垒的架构。首先，将以上偶间隔周期s=（0,2,4,6，8，……）格式进行转换。即，偶间隔周期s={（0,2），[（0,2),(0,2）],[（0,2,),（0,2),（0,2,)]，[（0,2,),（0,2),（0,2,),（0,2)]，[（0,2,),（0,2),（0,2,),（0,2)，（0,2)]，……}，然后按双轴对称方阵图（图1）在等腰直角△中堆垒（图1-1）。 四个象限的△堆垒架构在双轴对称方阵中的共阵，彰显黎曼猜想的哲学宇宙含义。 图1-1中“+”节点（△底中点）为叠加重合点（非轴线平行点）。

（四）黎曼函数△堆垒的偶间隔应用。 黎曼猜想证明的是自然数序存在且唯一。在此基础上，提出了方阵数论概念。方阵数论是研究自然数序存在且唯一本质的数论属性方法。 方阵数论，适用于六大数学猜想的证明。包括，四色猜想证明的无限阶双轴对称方阵“相异相邻、相同（异）对顶”规则的数序规律是方阵数论的基础、黎曼猜想实证的方阵△“偶奇”数序构造印证自然数序存在且唯一的方阵数论目的属性、朗道—西格尔0点的“0偶1奇”端点重合的动态数序规律、自然数序“偶奇”相邻规律中的哥德巴赫猜想“都可”是多解与素数概率趋0事件、孪生素数猜想是在自然数序相邻奇数规律中的应用、考拉兹猜想的四色猜想方阵△数论属性印证自然数序“偶奇”相邻规律存在且唯一。 这些皆表达方阵数论属性猜想关联证明与目的属性，解析了方阵数论属性猜想实证、印证自然数序存在且唯一的数论属性意义所在。

方阵数论是研究自然数序存在且唯一本质的数论属性方法。

关于黎曼函数的实际意义，利用防治水土流失实例阐述。

1、0点（树）位置水流的“∧”交叉、叠加重合。 为防水土流失，需要在山坡造防护林。防护林建造，采用两端都植树问题、△堆垒方法（图1-1）。当水流碰到树木，就会形成“∧”交叉分流）（图1-1的斜纠线∧交叉点、+叠加点）、并层层发散至（0,1）区间轴。这就是通过连续（偶间隔）阻挡来降低水流冲击力。这里不妨简称间隔力。阻挡效果与树木密度相关。当偶间隔S→点时，树越来越密，水流冲击力→0。这与黎曼函数定理、推论一致。

2 、等差间隔力重合数的计算。 将图1-1中的0点位置进行偶间隔度量编号。编号由两部分组成，即编号=“偶间隔”+“奇数个”序号（如下）。

重合数是所在长方形交叉点之和。如6③位置重合数=6③+4①+4③+2①+2③+0①=6，…。其规律性是等差间隔力的通项途径求和公式（图2）。4②、2②是叠加点，叠加点重合数计算相同。

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